Benutzer:

Passwort:

 

Berechnungen zu den Magdeburger Halbkugeln

Benedikt Schweers, Jahrgang 12, 06.06.2018

 

Im Zuge unseres Experimentes mit den Magdeburger Halbkugeln haben wir uns die Frage gestellt, welche Masse man maximal an die evakuierten Halbkugeln hängen könnte. Dazu haben wir hier einige Berechnungen aufgestellt:

Der (Luft-)Druck p entspricht dem Quotienten aus der Kraft F und der Fläche A, auf die diese Kraft wirkt:

p = F/A

Umstellen nach F führt zu

F = p ⋅ A . (1)

Hängt man eine Masse an die Magdeburger Halbkugeln, so ist die maximale Kraft, die auf die Halbkugeln wirken kann, die Gewichtskraft FG der angehängten Masse. Die Gewichtskraft ist das Produkt aus der Masse m und der Fallbeschleunigung g (g ≈ 9,81 m/s2):

FG = m ⋅ g . (2)

Die Gleichungen (1) und (2) werden gleichgesetzt:

m ⋅ g = p ⋅ A .

Auf beiden Seiten der Gleichung wird durch g geteilt:

m = p ⋅ A/g .

Bei der Fläche, auf die die Gewichtskraft wirkt, handelt es sich um einen Kreis. Der Flächeninhalt eines Kreises lässt sich wie folgt berechnen:

A = π ⋅ r2 = π/4 ⋅ d2 .

Dabei ist d der Durchmesser des Kreises bzw. der Magdeburger Halbkugeln. Setzt man diese Formel für A in Gleichung (3) ein, so ergibt sich

m = π ⋅ p ⋅ d2/4 ⋅ g .

In diese Formel kann man den Durchmesser von beliebigen Magdeburger Halbkugeln sowie den Luftdruck zum Zeitpunkt des Experimentes einsetzen und erhält dann die maximal anhängbare Masse.

Die von uns verwendeten Magdeburger Halbkugeln haben einen Durchmesser von ca. 9 cm. Am Experimentiertag hatten wir einen Luftdruck von ca. 1015 hPa. Diese Werte setzt man in die Formel ein, wobei man darauf achten muss, die richtigen SI-Einheiten zu verwenden:

m = 3,14 ⋅ 101500 Pa ⋅ (0,09 m)2/4 ⋅ 9,81 m/s2 ≈ 65,79 kg .

Die originalen Halbkugeln, die Otto von Guericke 1656 in Magdeburg verwendete, hatten hingegen einen Durchmesser von ca. 42 cm.

m = 3,14 ⋅ 101325 Pa ⋅ (0,42 m)2/4 ⋅ 9,81 m/s2 ≈ 1430,26 kg .

An die originalen Magdeburger Halbkugeln hätte man also eine Masse von ca. 1430 kg anhängen können (ungefähr die Masse eines VW Golf VII).